立足数学课本根在核心素养

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摘要：高中数学教学以发展学生数学学科核心素养为导向，创设合适的教学情境，启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质。在学习了等差数列、等比数列的基本知识之后，再次翻开课本

高中数学教学以发展学生数学学科核心素养为导向，创设合适的教学情境，启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质。在学习了等差数列、等比数列的基本知识之后，再次翻开课本前面的内容，充分利用课本资源，适度拓展和延伸，激发学生的学习兴趣。文章先从一道课本例题谈起。

一、课本例题

【例1】(课本例3，文[2]第31页)：设数列{an}满足

写出这个数列的前5项。

显然，按照递推公式，这里求解是机械的、容易的。已经学过的等差数列、等比数列的通项公式都可以看作是递推公式，那么例1有没有通项公式?如果有，怎样求解?

二、不动点

(一)不动点的概念

设函数f(x)，若f(α)=α，则称α是f(x)的不动点。

在数列{an}中，若an=f(αn-1)(n>1)，α是f(x)的不动点，则称α是{an}的不动点。

(二)不动点与数列通项

关于函数不动点与数列通项公式之间的关联，通过简单的数学变换即可推证。与例1相关的结论表述如下：

设函数数列{an}，若a1≠f(α1)，an=f(αn-1)(n>1)，那么：

(1)若f(x)有两个不同的不动点α，β，则有

其中①

(2)若f(x)有唯一一个不动点α，则有

其中②

(3)若f(x)没有不动点，则数列{an}具有某种周期性。

实际上，上述结论的得到是容易的，可以引导学生示意性的推导，以期提高他们的运算推理能力，培养他们的探索创新能力。其他各种形式的不动点与数列通项公式的关联，无非就是an+1-α与an-α(α为不动点)的各种组合、变形，以期得到熟悉的等差、等比数列，进而求得其通项公式。

其实，(3)若f(x)没有不动点，那它必有两个不同的复数根，这样完全可以归结为(1)。甚至(1)中也可以只选一个不动点，变形处理即可。

三、例1的通项公式

考虑由f(x)=x得f(x)有两个不同的不动点又a1≠f(α1)，an=f(αn-1)(n>1)。

(一)用两个不动点

比照①式，

从而

这是一个新的等比数列，其中首项

于是

解之

③

(二)用一个不动点

现在选用一个不动点，作差处理。取

由

取倒数

这里涉及另一种类型的不动点，即f(x)=dx+e(d≠0，1)，f(x)有不动点δ，则对应数列{bn}(bn=f(bn-1)(n>1))，有bn+1-δ=d(bn-δ)，从而出现一个新的等比数列。

我们接着处理例1，有

这里构造了一个新的等比数列，类似于3.1后半段，可以解出

④

四、例1的变式

【例2】设数列{an}满足

求数列{an}的通项公式。

考虑得数列{an}有唯一一个不动点1，比照②式即可求出

【例3】(课本习题2.1A组4(2)，文[2]第33页)：写出数列{an}的前5项：

这个数列没有不动点(方程无实数根)，事实上由简单计算，它具有周期性。

为了激发学生的兴趣，拓展学生的视野，可以对例1继续变式：写出数列{an}的前5项：易见数列{an}有两个不同的不动点，故可比照①式写出它的通项公式；很明显它还具有周期性(a1=a3=1)。

五、教学启示

(一)用好课本，注重通解通法

用不动点处理数列的通项公式，课本中虽未提及，但它具有通解通法性，而且学生完全可以套搬套用。适当运用不动点，可以避免解题的盲目性、增强解题的方向感。有利于激发学生学习数学的兴趣，提高教师教学的实效性。技高不压人，常常会有意外的惊喜。

【例4】(2019年高考浙江卷第10题)：设a，b∈R，数列{an}满足则

A. 当时，a10>10

B. 当时，a10>10

C. 当b=-2时，a10>10

D. 当b=-4时，a10>10

这是选择题的最后一题，应该算是压轴题。对于A选项，用估算、迭代的办法可以证明其真实性；本题如果从不动点的角度来考虑，它就变成了口算题!

考虑x=x2+b求出不动点，对于A选项，没有不动点；对于B选项，取不动点令则10；对于C选项，取不动点-1，令a=-1，则an=-1<10；对于D选项，取不动点令则

(二)适度拓展，关注后继学习

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文章来源：《高考》 网址: http://www.gkzzs.cn/qikandaodu/2021/0223/1498.html

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